5.1 Erläuterungen:
      Differentialquotient
      Extrema
      Wendepunkte
5.2 Differentialrechnung im Graph-Menü:
      Anzeigen des Differentialquotienten mit Trace
      Anzeigen von Tangenten und Normalen
      Ermitteln der Extrempunkte
5.3 Differentialrechnung im Run-Menü
5.4 Differentialrechnung im Table-Menü

Die hier gemachten Ausführungen sollen eine Hilfe für das Lösen von Aufgaben aus dem Themengebiet der Differentialrechnung mit dem GTR sein. Die Erläuterungen beziehen sich auf einige hierfür notwendige Begriffe. Sie sind nicht vollständig und dem besseren Verständniss wegen vereinfacht. D.h. es wird zum Beispiel nichts über Bedingungen bzw. Voraussetzungen gesagt. ( Für weiterführende Studien gibt es ja das Mathe-Lehrbuch ). Wer noch nicht über die grundlegende Bedienung des GTR bescheid weiß, z.Bsp. wie man sich eine Funktion im Graph-Menü in einem geeigneten Fenster anzeigen lässt, der kann das hier erfahren.

Als Beispielfunktion dient auf dieser Seite die Funktion f(x)=x³-6x²+9x. Diese Funktion geht durch den Koordinatenursprung ( 0;0 ), hat ihr Maximum bei ( 1;4 ) und das Minimum bei ( 3;0 ). Das Minimum ist also gleichzeitig die Nullstelle. Ihren Wendepunkt hat die Funktion bei ( 2;2 ).
Die erste Ableitung  : f´(x)=3x²-12x +9
Die zweite Ableitung: f´´(x)=6x-12
Die dritte Ableitung : f´´´(x)=6

5.1 Erläuterung einiger wichtiger Begriffe der Differentialrechnung:

DerDifferentialquotient drückt u. a. den Anstieg der Tangente an einem bestimmten Punkt aus (d.h. den Tangens des Winkels, unter welchem die Tangente an diesem Punkt die x-Achse schneidet). Man bekommt also eine Aussage über das Verhalten der Funktion an dieser Stelle. In der Physik ist der Differentialquotient in einem (s)-(t)-Diagramm zum Beispiel die Momentangeschwindigkeit. Theoretisch wird der Differentialquotient ja so gebildet, dass man durch zwei Punkte einer Funktion eine Sekante legt. Deren Anstieg (=Differenzenquotient) kann man man aus einer 2-Punktegleichung berechnen. Dann läßt man mittels Grenzwertberechnung den Abstand der beiden Punkte gegen Null gehen. Der Differentialquotient ist demzufolge der Grenzwert des Differenzenquotienten.

und hier das Minimum bei P( 3;0 ):

Die erste Ableitung ist an beiden Stellen Null ( dY/dX=0 ). Legt man an das Maximum eine Tangente an, so kann man gut erkennen, dass diese waagerecht ist. Damit man den Unterschied besser sieht, wurde die Funktion rot angezeigt. Wie das geht, steht in der Einführung 1
 

Wichtig!!:

Die nachfolgenden Anleitungen gehen davon aus, dass die entsprechende Funktion in einem geeigneten Fenster gezeichnet ist. Die Beispielfunktion wird in folgenden Einstellungen angezeigt:

         Der Ausgangsbildschirm sieht dann so aus:
 

Anzeigen des Differentialquotienten mit Trace

Man kann sich den Differentialquotientenfür einen bestimmten Punkt einer Funktion anzeigen lassen, während man mit den Cursor-links bzw. Cursor-rechts Tasten die Funktion mit dem Cursor sozusagen "abfährt". Mit sieht man folgendes Bild:

(Sollte dY/dX nicht mit angezeigt werden, dann muß im Setup-Menü der Wert für Derivative auf "ON" gestellt werden. Also  , dann "Derivative"auswählen und  drücken.)

Wer will, kann sich auch eine Tangente oder eine Normale an einem Punkt anzeigen lassen. Dazu  ,  ,  (Tang) für die Tangente drücken. Dann den entsprechenden Punkt auswählen und mit   bestätigen. Hier im Bild ist dies die Wendetangente durch den Wendepunkt ( 2;2 ).

Möchte man die Normale sehen, geschieht dies durch (Norm). Den Punkt wieder mit bestätigen. Der Anstieg der Normalen beträgt immer -1/m (m ist der Anstieg der Tangenten). D.h. Tangente und Normale schneiden sich unter 90°.

Auch hier gilt, dass man keinen exakten Punkt angeben kann. Will man die Tangente an einem ganz bestimmten Punkt sehen, so muss man sich die Tangentengleichung ausrechnen und als weitere Funktion im Graph-Menü anzeigen lassen.

Um das Maximum bzw. das Minimum einer Funktion zu bestimmen, ist das Graph-Menü gut geeignet. Es empfiehlt sich, wenn man sich erst die Funktion mit größeren Fenstereinstellung ansieht und danach das Fenster für die in Frage kommende Stelle ausrichtet. Mit  und  (MAX) wird dann das Maximum bestimmt, mit  und  (MIN) das Minimum. (DerTaschenrechner benötigt eine kleine Rechenpause.)
Man bekommt so das Maximum angezeigt:

und so das Minimum:

Die entsprechenden x- bzw. y-Werte sind unten eingeblendet. Hier kann man auch gut die Grenzen des GTR erkennen. Denn bei Lösungen im Graph-Menü kommt es je nach Einstellung des Fensters zu Rundungsfehlern. Das Minimum liegt bei M ( 3;0 ), die Anzeige gibt einen geringfügig anderen Wert aus.

 Relativ schnell kann man im Run-Menü den Differentialquotienten berechnen. Dazu muss man sich natürlich im Run-Menü befinden. Mit  -  (CALC) -  (d/dx) sieht man folgende Anzeige: d/dx( . Nach der Klammer muss  jetzt die Funktion eingegeben werden. Danach ein  und der x-Wert, für den man den Differentialquotienten wissen möchte. Für die Beispielfunktion sieht das für den x-Wert =1 so aus:

Da die Funktion bei x=1 ihr Maximum besitzt, muß der Differentialquotient ja Null sein. Hat man die Funktion vorher schon einmal im Graph-Menü eingegeben, so muß man sie hier im Run-Menü nicht nochmal eingeben. Mit  - (GRPH) - (Y) übernimmt man Funktionen aus dem Graph- bzw. dem Table-Menü. Nach dem Y muß man die Zeile angeben, unter der die Funktion gespeichert ist. Ist sie z.B. unter Y1 gespeichert (also als erste in dieser Form), so braucht man nur die  drücken und die Angabe der x-Stelle ist wie oben. Ist die Funktion also im Graph-Menü so gespeichert :

 so  ist die Anwendung im Run-Menü dementsprechend:

Im Table-Menü läßt sich auch der Differentialquotient eines bestimmten Punktes einer Funktion ablesen. Gegenüber der Nachfolgeanzeige mit Trace hat man hier den Vorteil, dass man einen bestimmten Punkt eingeben kann. Nachdem man das Table-Menü geöffnet hat, muß zuerst die Funktion eingegeben werden. Falls man die Funktion schon im Graph-Menü eingegeben hat, wird sie auch hier mit zur Auswahl bereitgestellt. Die gewünschte Funktion markieren und mit  bestätigen. Jetzt erscheint eine Wertetabelle, wo neben den x-Werten und den y-Werten auch eine Spalte Y´1 zu sehen ist. In dieser Spalte wird der entsprechende Differentialquotient angezeigt. Wenn die Markierung sich in der x-Spalte befindet, dann kann der gewünschte x-Wert eingegeben werden. Dabei einfach den Wert eingeben und mit  bestätigen. Wechselt man mit der Markierung in die Y´1-Spalte, so kann man den Differentialquotienten ausführlich ansehen. Für die Beispielfunktion ergibt sich bei einem eingegebenen x-Wert von 1,25 folgendes Bild:

Das heißt, die Funktion hat in dem Punkt P( 1.25;3,83 ) einen Differentialquotienten von -1,3125.