CuMaU - Computerunterstützter Mathematikunterricht

Körpergeometrie

Vorbemerkungen:
	Die folgende Auswahl von Dokumenten wurde in 10. Klassen eingesetzt, die "CuMaU" im 4. Jahr (seit der Klassenstufe 7) erlebten. Sie können als Einzelarbeit und Gruppenarbeit im Unterricht, im Rahmen von Projekten oder als Belegarbeiten eingesetzt werden und sollen als Anregung für den Einsatzmöglichkeiten moderner Mathematik-Software dienen. Auf ausführliche inhaltliche, organisatorische und didaktische Hinweise (wie im Erfahrungsbericht der Klassenstufe 7) wird verzichtet, lediglich die Art der Dokumente (ob für den Schüler als Aufgabenblatt, ob als Lösung für den Lehrer oder Lösungsmöglichkeit eines Schülers) wird vorgeschlagen.

	Zu jedem Lernbereich kann eine entsprechende Tabelle aufgerufen werden aus der alle Dokumente direkt eingesehen oder heruntergeladen werden können. Im weiteren Verlauf von CuMaU werden diese in den nächsten Monaten durch weitere Beispiele ergänzt. Für einen Erfahrungsaustausch sind die Autoren jederzeit dankbar!

	Die Autoren übernehmen keinerlei Garantie bzgl. Richtigkeit, Vollständigkeit und Funktionstüchtigkeit!

Inhaltliche Hinweise:
	Alle Probleme der Geometrie wurden nochmals zusammenhängend behandelt. Besonders die Lernbereiche "Funktionen" und "Gleichungen" wurden neu orientiert. Der Lernbereich "Zahlenfolgen" wurde aus der Sek. II (gekürzt) übernommen, um einerseits in Sek. II Zeit zu sparen und andererseits bereits in der Klassenstufe 10 vielfältiger auf Wachstumsprozesse eingehen zu können.
Schwerpunkte:
	Schulung des Raumvorstellungsvermögens, Verbindung von Elementen der Darstellenden und Analytischen Geometrie für verschiedenste Körper. Anwendungsaufgaben (wesentliche Eigenschaften) zu Funktionen und Gleichungen. Anschließendes Erarbeiten einer Hierarchie bei Funktionen und Gleichungen (Klasseneinteilung). Unterscheidung in numerische, grafische und algebraische Lösungsverfahren. Weniger formelle Aufgaben (wie z. B. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen), sondern mehr inhaltliches Lösen, handlungsorientierte Analyse wesentlicher funktioneller Zusammenhänge unter Nutzung der numerischen, grafischen und algebraischen (symbolische dynamische Operatoren von Mathcad) Varianten. Unterschiedlichste Dokumentation der Lösungen (Handlungen und Ergebnisse): PC als Werkzeug zum Experimentieren ("Experimentierdokumente" und/oder zum Dokumentieren "Lösungsdokumente"). Behandlung vielfältiger Wachstumsprozesse (auch logistisches Wachstum). Geometrische und analytische Interpretation von Näherungsverfahren. Verinnerlichung des Beweisverfahrens der Vollständigen Induktion durch "Mathematischen Aufsatz" (und dabei vor allem reduzierten Rechenaufwand).

Genutzte Software:
	Tabellenkalkulation	Microsoft Excel
	Funktionenplotter	WinFunktion Mathematik (bhv)
	Geometriesoftware	Körpergeometrie (Cornelsen), Mediothek "Geometrie" (Klett)
	Computeralgebrasystem	Mathcad 8.0 (Mathsoft Corp.)
	Tafelwerk	Elektronisches Tafelwerk (Paetec)

Vorraussetzungen:
	Sichere Kenntnisse in der PC-Arbeit, Grundkenntnisse im Umgang mit CAS Mathcad und TK Microsoft Excel Grundkenntnisse (Klassenstufen 8 und 9), Funktionenklassen und deren Eigenschaften.

1. Körpergeometrie:
	Ausgehend von realen Körpern aus der Erlebniswelt der Schüler werden Körper klassifiziert und deren unterschiedlichste Darstellungsmöglichkeiten (Tafelprojektion, Kavalierperspektive, Netz, ...) gegenübergestellt:

	realer Körper grafische Darstellung Möglichkeiten der Berechnung

	Beispielgebend dafür empfehlen wir die "Fischergeometrie" von Cornelsen und selbstgebaute Körper.

	Anschließend werden die unterschiedlichsten Körper nacheinander behandelt (Kennenlernen, Darstellen, Berechnen).

	Zur Berechnung werden hauptsächlich das "Elektronische Tafelwerk" und CAS Mathcad eingesetzt. Natürlich ist auch ein sinnvoller Einsatz von EXCEL möglich.

	Körper10 (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens

2. Funktionen:
	Zunächst wurden die Grundlagen funktionaler Zusammenhänge an verschiedensten Beispielen aus der Praxis wiederholt (qualitative und quantitative Analyse von Strom-Spannungs-Kennlinien, Wasserhöhe bei auslaufenden Gefäßen, Bewegungsprobleme, ... [siehe auch "mathematik lehren 94, Seite 58] ).

	Danach kann anhand einfacher linearer und quadratischer Funktionen eine Berechnung der Achsenschnittpunkte, Analyse der Monotonie usw. (per Hand und auch mit dem GTR ) erfolgen. Erst anschließend wird der PC (Mathcad) zum grafischen und numerischen Lösen eingesetzt. Im Mittelpunkt stehen dabei die Verinnerlichung funktionaler Zusammenhänge (Welchen Funktionswert hat f an einer bestimmten Stelle? An welchen Stellen hat f einen bestimmten Funktionswert?). Im Zusammenhang mit Monotoniebetrachtungen werden bereits die Begriffe "Anstieg" und "Asymptoten" verwendet.

	Anschließend werden schrittweise die einzelnen Funktionenklassen und deren grundlegende Eigenschaften behandelt. Dazu erarbeiten sich alle Schüler IHRE EIGENEN Dokumente (Übersichten mit Eigenschaften).

	Die vorgeschlagenen mathematischen Praktika können in ihrer Art und Reihenfolge variiert werden oder als Komplexübung (Gruppenarbeit) stattfinden.

	Funktionen10 (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens

3. Zahlenfolgen:
	In Abweichung vom Sächsischen Lehrplan Mathematik wurde im Rahmen von "CuMaU" dieser Lernbereich von der Sek. II (Jahrgangsstufe 11) in die Klassenstufe 10 vorgezogen. Gründe hierfür waren u. a.:

	Zusammenhängende Behandlung von Eigenschaften von Zahlenfolgen und Funktionen, Analyse einfacher Wachstumsprozesse (linear, geometrisch, exponentiell), aber auch komplizierterer (praktischer) Beispiele, wie z. B. logistisches Wachstum, weniger theoretische Zusammenhänge (Grenzwert von Zahlenfolgen, Reihen, Partialsummen, ...), mehr praktische und anschauliche Beispiele, Zeitgewinn für Sek. II .
	Literaturhinweis: "Wachstumsfolgen" in "mathematik lehren", Hefte 96 und 97, Professor Weigand u. a., Interaktives Lernprogramm Zahlenfolgen

	Zahlenfolgen10 (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens

4. Gleichungen:
	Während im "klassischen" Mathematikunterricht das Lösen von Gleichungen durch sogenannte Äquivalenzumformungen (entsprechend des Typs der Gleichung ...) im Vordergrund steht und maßlos geübt wird, sind durch CuMaU (und auch den sinnvollen GTR-Einsatz) vielfältigere Lösungsverfahren und -methoden realisierbar:

	Inhaltliches Lösen Lösen mittels Ablesen aus Tabellen und grafischen Darstellungen Unterscheidung zwischen numerischen (iterativen), algebraischen und grafischen Lösungsverfahren
	Alle Lösungsverfahren sollten den Schülern schrittweise vorgestellt und geübt werden, so daß diese zunehmend in der Lage sind, ein geeignetes Hilfsmittel bzw. Verfahren auszuwählen, richtig zu gebrauchen und die Lösungen zu interpretieren. Natürlich müssen auch für einfache Gleichungstypen (Systematisierung!) die elementaren Lösungsverfahren geübt und beherrscht werden!

	Neben vielen Anwendungsaufgaben (inner- und außermathematisch) sollten auch elementare Algorithmen (HERON-Verfahren, Intervallhalbierungsverfahren) behandelt werden. Mittels EXCEL können von den Schülern geeignete Tabellen erstellt werden.

	Außerdem ist eine sinnvolle und enge Verknüpfung (Parallelbehandlung?) mit dem Lernbereich Funktionen sinnvoll. Langfristig sollten also weniger statische als mehr dynamische Verfahren im Mittelpunkt stehen, die unabhängig vom Typ der Gleichung sind und vom Schüler vielfältig genutzt werden.

	Gleichungen10 (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens

5. Trigonometrie:
	Die Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck werden zunächst "klassisch" eingeführt und geübt (Basiswissen).

	Anschließend erstellen sich die Schüler mittels Mathcad eigene Lösungsdokumente für inner- und außermathematische Aufgabenstellungen. In einigen Dokumenten sind Denkweisen aus dem Lernbereich "Lineare Funktionen" und der Analytischen Geometrie integriert.

	Trigonometrie10 (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens

6. Beweise:
	Einerseits verdeutlichen und beinhalten mathematische Beweisverfahren wesentliche mathematische Denkweisen und einen Teil menschlicher Kultur, andererseits schreckt der Rechenaufwand besonders beim "Beweisverfahren der vollständigen Induktion" viele Schüler (und auch Lehrer) von diesem Thema ab. Durch einen sinnvollen Einsatz des CAS Mathcad ist es möglich:

	die Beweisidee in einem Dokument (einmalig) zu dokumentieren, damit ein relativ "universelles" und dynamisches Arbeitsblatt für analoge Beweisaufgaben zu nutzen, den Rechenaufwand (Termvereinfachungen) erheblich zu minimieren und vielfältige Beispiele mit den Schülern zu diskutieren und zu interpretieren.

	Beweise (Tabelle)	Auflistung aller eingesetzten Dokumente mit Möglichkeit des Herunterladens