Pentominos heißen Körper, die man aus fünf Würfeln bilden kann. Es gibt 12 Möglichkeiten in der Ebene. Wegen ihrer mehr oder weniger großen Ähnlichkeit mit großen Buchstaben hat man sie nach ihnen benannt.

Rechtecke bilden   top
Das Grundproblem besteht darin, aus den 12 Steinen ein Rechteck 6x10 zu legen. Es gibt 2339 Möglichkeiten.
Andere Rechtecke haben die Maße 3x20 (2 Lösungen), 4x15 (368 Lösungen) oder 5x12 (1010 Lösungen).

ein 6x10-Rechteck, gebildet aus den 12 Pentominos

Figuren bilden   top
Außer Rechtecken kann man auch kompliziertere Figuren entwerfen und aus Pentominos bilden.

ein Beispiel

Schachbrettproblem  top
Ein Quadrat mit den Maßen eines Schachbretts  8x8 lässt sich legen, wenn man 4 Löcher zulässt (8x8-4=60).

eine von vielen Möglichkeiten

Vergrößerungsproblem top
Ein einzelner Pentomino-Stein wird aus 9 Steinen in dreifacher Vergrößerung nachgelegt. Eine Erhöhung des Schwierigkeitsgrades besteht darin, die betreffenden Pentominos nicht zu verwenden. 

eine Lösung zu T

Schablone  top
Man kann ein Rechteck 5x13 legen, wenn man ein Pentomino ausspart 
(5x13 = 65 = 60 + 5).

Ringe   top
Man kann aus Pentominos Ringe legen, so dass möglichst viele Quadrate eingeschlossen werden.

......

Die Anzahl 109 der eingeschlossenen Quadrate ist leicht zu überbieten.

......

Es gibt größere Rechtecke als das nebenstehende mit  39 Quadraten.

......

Die Brücke umschließt 251 Quadrate. Es gibt größere Brücken.

Die belgische Schule TID in Ronse hat sich auf Probeme dieser Art spezialisiert. In den Webseiten findet man Lösungen (URL unten).

Quader aus Pentominos     top
Das Grundproblem besteht darin, einen Quader mit den Maßen 3x4x5 zu legen (3940 Lösungen). Andere Quader haben die Maße 2x5x6 (264 Lösungen) oder 2x3x10 (12 Lösungen).
 

eine Lösung des 3x4x5-Quaders

Dreidimensionale Pentominos       top

Man kann Pentominos in doppelter Größe and mit dreifacher Höhe bilden. Für W und X gibt es keine Lösung, für F nur eine. Anzahl aller Lösungen: F(1),  T(3), Y(7), U(10), I(12), V(21), Z(24), N(51), L(99), P(1082)

Körper aus Pentominos    top
Man kann aus den Pentominos kompliziertere Körper bauen.

als Beispiel ein Turm mit einem Loch   ....

Daten der Pentominos  top Bedeutung der Zahlen:

V Volumen, O Oberfläche, K Kantensumme k Anzahl der Kanten, e Anzahl der Ecken, a Anzahl der Seitenflächen

Es gilt der Satz e + a - k = 2.       (Dank an 6c, 7a, 7c, 7d von 99/00)

Basteln von Pentominos top
Will man sich mit Pentominos beschäftigen, muß man sie unbedingt bauen.

Im einfachsten Fall genügen Figuren aus Pappquadraten, denn viele Probleme bleiben in einer Ebene.

Zur Herstellung dreidimensionaler Pentominos zersägt man eine quadratische Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und leimt die Würfel entsprechend zusammen.

Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser nicht sofort erhärtet und man dann in Ruhe die Würfel zu Pentominos zusammensetzen kann. 

Ein billige Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Pentomino ein Netz entwerfen, dann die Körper falten und zusammenkleben.

Pentominos aus Kunststoff  werden in Deutschland unter dem Namen "Zwölfer-Puzzle" verkauft. Sie kosteten 19,50 DM (1996). Hersteller ist "AMON A-Wien, Glasergasse 10. Dem Puzzle ist ein Heftchen beigelegt, in dem 1000(!) Lösungen enthalten sind. 

Pentominos im Internet (englisch) top
(nur eine kleine, zufällig gewählte Auswahl, alphabetisch geordnet)

Gerard's Pentomino Page
Man findet Informationen und Lösungen zum Rechteck, mit Solver.

Hans Edelkamp's Homepage
Man findet einen "Solver" für das Schachbrettproblem. Die vier fehlenden Quadrate setzt man mit der Maus.

Homepage von Thomas Fichtenkamm (deutsch)
PC-Version des Pentominopuzzles (friends) als Download.

The Pentominos Page
Man findet eine Übersicht über Pentominos.
Es wird die Methode dargestellt, Pentominos aus Legosteinen herzustellen.

TID - Ronse, Belgien  (Englisch)
Ein Wettbewerb: Forme aus den Pentominos einen Ring, so dass möglichst viele Quadrate umschlossen werden.

Geschichte     top
Der amerikanische Mathematikstudent Salomon W.Golomb schlug während einer Diskussion im Harvard Mathematical Club 1953 den Namen Polyominos für Körper aus mehreren Würfeln und den Namen Pentomino für einen Fünf-Würfel-Körper vor.
1954 veröffentlichte er einen Aufsatz über das Schachbrettproblem in American Mathematical Monthly. Das Wort Pentominoes (mit e nach o) ließ er urheberrechtlich schützen.

Kommentar   top
Am einfachsten ist es, die 12 Steine in dreifacher Vergrößerung zu legen. 
Aber schon die Bildung eines 6x10-Rechtecks aus den Pentominos bereitet viel Mühe, so dass man bald resigniert. 
Man kommt beim Suchen einer Lösung einfacher zum Ziel, wenn man bestimmte Steine zunächst zu größeren, einfachen Figuren zusammensetzt, zum Beispiel die Steine U und X, und dann weiterprobiert.

Literatur     top
Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt a.M. 1986 (Polywürfel)
Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980
R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991